Cambio del nome di minore a seguito decreto della Prefettura

Dopo l'avvenuta pubblicazione dell'avviso, disposta dalla Prefettura sia nel Comune di nascita che nel nostro Comune (Comune di residenza), la Prefettura ha provveduto ad emanare il decreto che autorizza i genitori del minore al cambio del nome. La procedura corretta è la trascrizione del decreto da parte del nostro Comune, invio proposta di annotazione al Comune di nascita e solo in seguito, cioè ad avvenuta annotazione, variare le generalità ed il C.F. al minore? Oppure è il Comune di nascita che è tenuto alla trascrizione del Decreto ed alla comunicazione al nostro Comune di residenza che, a seguito comunicazione da parte del Comune di nascita, provvederà ad effettuare il cambio del nome in anagrafe ed il cambio del C.F.?